الاشتقاق والتقييم
تقييم التكامل:
\[ \int \sin^4(x) \, dx \]
أعد كتابته على شكل:
\[ = \int \sin^2(x) \sin^2(x) \, dx \]
استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) لإعادة كتابة التكامل:
\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 - \cos(2x)) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))^2 \, dx \]
فك تعبير المتكامل:
\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx \]
استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)، والتي تعطي لـ \( \theta = 2x \) التعبير \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \):
\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]
بسيط الحدود داخل التكامل:
\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{3}{2} - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx \]
استخدم التكاملات القياسية مثل \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) + c \) لتقييم الحدود:
صيغة التكامل لـ \( \sin^4(x) \):
\[ \int \sin^4(x) \, dx = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{1}{4} \sin(2x) + \dfrac{1}{32} \sin(4x) + c \]
المزيد من المراجع والروابط
- جدول صيغ التكامل
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8